重庆理工大学学报(社会科学)

伯特兰悖论解析

分类:本刊推荐 发布时间:2018-08-15 14:19 访问量:194

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伯特兰悖论解析

杜国平

(中国社会科学院 哲学研究所, 北京 100732)

摘要伯特兰悖论对概率论的经典原则——无差别原则提出了质疑。通过对伯特兰悖论进行拓展,并构造类伯特兰悖论,可以清晰地展示伯特兰悖论的推理结构,并发现悖论产生的根本原因。伯特兰悖论的构造过程混淆了变量本身的概率和变量相应的函数的概率。与变量相关的不同函数的概率可能是不同的;并且由于函数的不同,各种值的概率都是可能的,具体概率值的多少是由函数的性质决定的。伯特兰悖论严格的推理结构存在不同的前提条件,得出的结论并不会导致矛盾,因此伯特兰悖论不是悖论,它不能对无差别原则形成质疑。

关键词:伯特兰悖论;无差别原则;变量;函数;概率


Analysis on Brandt’s paradox

DU Guoping

(Institute of Philosophy, Chinese Academy of Social Sciences, Beijing 100732, China)

Abstract:Brandt’s paradox questions the principle of indifference, which is the classical principle of Probability Theory. By extending Brandt’s paradox, and constructing class Brandt paradox, the inferential structure is clearly exhibited and the primary cause of the paradox is revealed. The construction of Brandt’s paradox obscures the variable’s probability and the function corresponding to the variable. The probability of the functions corresponding to the variable may be different. As the functions are different, it is possible for all kinds of values, and the value is decided by the properties of the function. The strict inferential structure of Brandt’s paradox has different conditions but the conclusions will not lead to contradiction. Therefore, Brandt’s paradox is not a paradox and it cannot question the principle of indifference.

Key words:Brandt’s paradox; the principle of indifference; variable; function; probability

伯特兰悖论自提出以来,受到了人们广泛的关注。本文不拟对相关研究进行综述和评论,而只是从问题本身出发,使用逻辑方法来分析问题本身的推理结构,并对悖论问题产生的根源进行纯粹理论的阐述,以期澄清某些哲学论争。


一、伯特兰悖论概述

伯特兰悖论是由法国数学家约瑟·路易斯·弗朗索瓦·伯特兰(Joseph Louis Fran?ois Bertrand)于1889年提出的一个概率悖论[1]。该悖论的基本结构是:

对于问题“圆内任意一条弦,其弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是多少?”伯特兰给出了3个不一致的答案[2]

第1种解答:考察从圆上任意一点A出发的那些弦(见图1)。以A为一个顶点作圆内接等边三角形ABC。如果弦的另一端落在∠DAB或者∠EAC的区域内(包括BC两点),如弦AA1,则弦长并非长于该圆内接等边三角形的边长;如果弦的另一端落在∠BAC的区域内(不包括BC两点),如弦AA2,则弦长长于该圆内接等边三角形的边长。反之亦然。因为△ABC是等边三角形,∠BAC等于60°,所以弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是:

第2种解答:考察弦中点M。半径为r的圆内任意弦DE的长度由中点M的位置唯一决定。作半径为的同心圆(见图2)。如果弦DE长于该圆内接等边三角形的边长,则弦中点M落在小圆内;如果弦DE不长于该圆内接等边三角形的边长,则弦中点M落在小圆上或者小圆之外。反之亦然。而小圆面积是大圆面积的所以弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是:

第3种解答:考察弦到圆心O的距离(见图3)。如果弦DE长于该圆内接等边三角形的边长,则弦到圆心O的距离大于如果弦DE不长于该圆内接等边三角形的边长,则弦到圆心O的距离不大于反之亦然。所以弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是:

伯特兰悖论的基本结构是:考虑弦长长于圆内接等边三角形边长的概率,根据无差别原则,分别得出了3个不同的结论,而这3个结论是不一致的。

图1

图2

图3

伯特兰悖论所直接拷问的是主观概率的合理性问题。具体地说,它拷问的是主观概率无差别原则的合理性。无差别原则(the principle of indifference)指的是:对于某一条件下的若干种可能性,如果没有证据证明其中的某一种可能性比其他的可能性更大或者更小,那么我们赋予这些可能性以相同的概率[3]。伯特兰悖论的发现和提出,对使用无差别原则来确定主观概率的方法构成了一个极其严重的挑战。


二、伯特兰悖论的拓展示例

为了进一步凸显伯特兰悖论的特性,我们可以对伯特兰悖论加以更进一步的引申。

伯特兰悖论中提出的问题是:“在一个圆内任意拉一条弦,这条弦长于这个圆内接等边三角形边长的概率P(c)是多少?”对于这一问题,除了上述3种解答之外,我们还可以给出其他几种解答。

为了方便叙述,下文我们讨论时统一取圆心为O,半径为r的圆。显然,该圆内接等边三角形的边长为

第4种解答:弦AB的长度唯一决定弦AB和弧AB(较短的一段弧)围成的封闭图形M1的面积。若弦AB的长度为0,则封闭图形M1的面积为0;若弦AB的长度为2r,则封闭图形M1的面积为显然,封闭图形M1的面积区间为当弦AB的长度等于时,封闭图形M1的面积为由此可见,当封闭图形M1的面积处于区间时,弦AB的长度长于圆内接等边三角形的边长。所以,此时P(c)的值为:

第5种解答:在第4种解答中,我们考虑的是弦AB与较短的弧AB所围成的封闭图形的面积。如果我们转换一下思路,来考虑由弦AB与较长的弧AB所围成的封闭图形M2的面积,那么情况如何呢?若弦AB的长度为0,此时的封闭图形即为整个圆,其面积为πr2;若弦AB的长度为2r,此时的封闭图形为半圆,其面积为当弦AB的长度等于时,封闭图形M2的面积为由此可见,当封闭图形M2的面积处于区间之中时,弦AB的长度长于圆内接等边三角形的边长。所以,此时P(c)的值为:

第5种解答,虽然角度与第4种解答有所不同,但是其结果是相同的。

类似地亦可考虑由弧AB形成的扇形面积的情况。

第6种解答:在半径为r的圆内,任一弦AB最长为2r,最短为0,即弦AB的长度区间为[0,2r]。该圆内接等边三角形的边长为即当弦AB的长度处于区间时,弦AB的长度长于该圆内接等边三角形的边长。因此,此时P(c)的值为:

后面将进一步表明,按照上述思路,对于这一问题,任意值的概率都是可以给出的。


三、弦长与其相关变量之间的多项式关系

图4

1.弦AB的长度x与∠DAB度数θ之间的关系见图4。

不难看出,弦AB的长度x与∠DAB度数θ之间存在如下关系:

当弦AB的长度x大于时,θ属于区间(60°,120°);反之亦然。弦AB的长度区间为[0,2r],θ属于区间[0,180°]。θ属于区间(60°,120°)时,弦AB的长度长于内接等边三角形边长,其概率为

2.弦AB的长度x与以O为圆心、以弦中点到圆心距离为半径的圆面积S1之间的关系为:

当弦AB的长度x大于时,弦AB的中点落在半径为的圆内;反之亦然。弦AB的长度区间为[0,2r],圆面积S1处于区间[0,πr2]。当弦AB的长度x大于时,弦AB中点落在为圆心、半径为面积为的圆内。亦即当弦AB的中点所在的圆面积处于区间时,弦AB的长度长于内接等边三角形的边长。其概率为:

3.弦AB的长度x与弦中点到圆心距离y之间的关系为:

当弦AB的长度x等于时,弦AB的中点到圆心O的距离为反之亦然。不难看出,y的长度区间为[0,r]。当y处于区间时,弦AB的长度长于内接等边三角形的边长。其概率为:

4.弦AB的长度x与弦AB和弧AB(较短的一段弧)围成的封闭图形面积S2之间的关系为:

当弦AB的长度x等于0时,S2=0;当弦AB的长度x等于时,S2等于当弦AB的长度x等于2r时,S2等于反之亦然。不难看出,当S2处于区间时,弦AB的长度长于内接等边三角形的边长。其概率为:

5.弦AB的长度x与弦AB和弧AB(较长的一段弧)围成的封闭图形面积S3之间的关系为:

当弦AB的长度x等于0时,S3r2;当弦AB的长度x等于时,S3等于当弦AB的长度x等于2r时,S3等于反之亦然。不难看出,当S3处于区间时,弦AB的长度长于内接等边三角形的边长。其概率为:


四、多项式关系解析

如果我们将上述讨论归纳到表1中,则不难看出其中的一般性问题。

表1 弦长与其相关变量之间的多项式关系

注:(1)特征区间指的是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长时,关系多项式(f(x))的值域; (2)概率指的是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长时,相关变量的概率,而不只是弦AB的长度x长于内接等边三角形的边长的概率

对于与弦长x相关的变量f(x),按照悖论构造的思路,其时得到的弦AB的长度长于内接等边三角形边长的概率是:

由此我们不难得到这一问题的任意概率值。例如如果相关变量为:

则其时得到的概率为

实际上,如果希望得到的概率值为n,只需其相关变量f(x)满足下列条件即可:

由此可见,伯特兰悖论是由不同的相关变量造成的。伯特兰在构造悖论的过程中,得出的不同概率只是不同的相关变量的概率,而不是弦长长于内接等边三角形边长的概率。


五、类伯特兰悖论及其解释

为了彰显伯特兰悖论的问题所在,可以构造如下的类伯特兰悖论。

在一块理想的玻璃大平板上,中心有一个圆心为O、半径为2r的圆O1,其中间有一个半径为r的同心圆O2。随机往玻璃大平板上丢一枚半径为的数字币,则落在O1内的数字币或者完全落在O2内,或者与O2至少有一个交点。

问:落在O1内的数字币完全落在O2内的概率是多少?

1.考虑随机落下的数字币其圆心MO的距离x,如果数字币正好落在O2的中心位置,则x为0;如果数字币完全落在O2内,则x小于如果数字币与O2至少有一个交点,则x大于等于而小于等于x的取值区间为x处于区间时,数字币完全落在O2内。由此可见,数字币完全落在O2内的概率P1为:

2.考虑随机落下的数字币上的点到O的最远距离y,如果数字币正好落在O2的中心位置,则y如果数字币完全落在O2内,则y小于r;如果数字币与O2至少有一个交点,则y大于等于r而小于等于2r。即y的取值区间为y处于区间时,数字币完全落在O2内。由此可见,数字币完全落在O2内的概率P2为:

3.考虑随机落下的数字币,如果数字币完全落在圆O2内,则其圆心M必定处于圆心为O、半径为的圆O3内;否则数字币与圆O2至少存在一个交点,其圆心M必定处于圆心为O、半径为的圆O4之内,但不在O3之内。由此可见,数字币完全落在O2内的概率P3为圆O3与圆O4的面积之比:

由1、2、3可知,上述思想实验的结果形成了一个类伯特兰悖论。

对于概率为的不同结果,同样可以由圆心MO的距离x以及相应的以此为半径的圆面积S之间的关系得以合理的解释:

Sx2


六、结论

由前述讨论分析,我们可以得出如下结论:

1.伯特兰悖论的表层结构是:根据无差别原则(p),可以得出弦长长于内接等边三角形边长的概率为以及而这一结果是不一致的。其基本逻辑架构是:

pqrs,而q rq ss r

进一步可得,prr

因此由p得出矛盾,从而p不成立。这看似对无差别原则形成了质疑。

但是,根据前述分析,我们发现伯特兰悖论的内部结构是:根据无差别原则(p),可以得出弦长长于内接等边三角形边长的概率为相应地,在弦长x大于的情况下,f(x)的概率为在弦长x大于的情况下,g(x)的概率为在弦长x大于的情况下,h(x)的概率为等等。而这一结果并非是不一致的。其基本逻辑架构是:

p(p1q)(p2r)(p3s),而q rq ss r

据此并不能由p得出矛盾。

因此,伯特兰悖论并不是一个悖论,它对无差别原则也并不能构成质疑。

2.对于定义域为[0,m]的变量x,当考察其特征域[n,m]的概率时,我们只能根据变量及其特征域自身的情况,依据无差别原则来进行考察,而不应将其相关的函数所对应的特征域及其在值域中的概率来进行变换。这是因为变换所得到的概率只是相应的函数的概率,而可能不是自变量原初的概率了。根据无差别原则,变量x本身的概率是唯一的。同样根据无差别原则,与变量相应的一个函数的概率也是唯一的;但是与变量相应的不同函数的概率可能是不同的,并且由于函数的不同,其各种值的概率都是可能的,具体概率值的多少是由函数的性质决定的[4]

3.伯特兰悖论存在概念混淆的逻辑错误。其中,混淆了变量本身的概率和变量相应的函数的概率。

4.逻辑分析有助于厘清概念、明确判断,并进而分析推理结构、消解悖论。


参考文献:

[1] BERTRAND J.Calcul des probabilités[M].[S.l.]:Gauthier-Villars,1889:4-5.

[2] 罗伊·索伦森.悖论简史[M].贾红雨,译.北京:北京大学出版社,2007:201-212.

[3] 约翰·梅纳德·凯恩斯.论概率[M].杨美玲,译.武汉: 湖北科学技术出版社,2017:34-53.

[4] 赵曼.无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例[J].重庆理工大学学报(社会科学),2018(3): 20-26

                                                            (责任编辑 张佑法)